高等数学解题常用公式笔记总结

发布时间：2023-12-24 06:18:57

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文章目录

一、等价无穷小

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二、等差数列

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三、等比数列

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四、不定积分

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代换

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五、基本函数图像

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六、三角函数

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一全正二正弦三正切四余弦

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反三角函数公式（常用）

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三角函数之间的关系

对角相乘为1
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特殊角

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角度与π的转换

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两角和公式

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倍角公式

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三倍角公式（不重要）

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半角公式

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万能公式

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和差化积

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七、定积分

需要记忆的一些定积分结果

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定积分常用公式

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偶倍奇零

第一个是被积函数 f ( x ) f(x) f(x)为非奇非偶时候可以用
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区间再现

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华里士公式(点火公式)

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周期函数

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诱导公式

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反常积分(广义积分)

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补充

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变限积分

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八、微分方程

一阶线性微分方程

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二阶常数项齐次线性微分方程

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n阶常数项齐次线性微分方程

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二阶常数项非齐次线性微分方程

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一阶全微分方程

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九、泰勒公式

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常见麦克劳林展开式

其实用的最多的是这些展开式，级数求和函数中经常用前5个
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十、渐近线

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水平渐近线

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铅直渐近线

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斜渐近线

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十一、向量代数与空间解析几何

向量的模

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方向角与方向余弦

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单位向量

模长为1的向量

单位化

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投影

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数量积（点乘）

参与运算的是向量，结果为数
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向量积（叉乘）

参与运算的是向量，结果还是向量
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十二、方向导数与梯度

方向导数(是个数)

cos为方向余弦
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梯度

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梯度方向即函数增长速度最快的方向或方向导数取最大值的方向

方向导数与梯度的关系(梯度的模)

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十三、标准几何体表面积/体积公式

首先声明：
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棱柱与棱锥

棱柱

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棱锥

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圆柱、圆锥、球

圆柱

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圆锥

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球

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十四、定理

介值定理

英文表述就是：The value between m and M.
观察一下，只有这俩个定理属于闭区间
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函数平均值定理

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积分中值定理

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升级版积分中值定理（用拉格朗日）

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零点定理

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罗尔中值定理

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拉格朗日中值定理

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柯西中值定理

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二重积分中值定理

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积分第一中值定理

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费马定理

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十五、格林公式

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正向：逆时针
逆向：顺时针（钟表方向）[需要加负号]
因为内容比较少也不算太难，直接加这里了。
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十六、无条件极值

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十七、旋转体体积公式

在这里插入图片描述旋转体体积公式其实是可以由元素法推出来的，详情：元素法的应用

十八、定义求导

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十九 三重积分

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二十 高斯公式

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二十一 曲率与曲线半径

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常用导数恒等式

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补充

1 极坐标

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2 一元二次方程

a x 2 + b x + c = 0 ax^2+bx+c=0 ax2+bx+c=0
△ = b 2 ? 4 a c △=b^2-4ac △=b2?4ac
△ > 0 x 1 , 2 = ? b ± b 2 ? 4 a c 2 a △>0\quad x_{1,2}=\frac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a} △>0x1,2?=2a?b±b2?4ac ??
△ = 0 x 1 = x 2 △=0\quad x_1=x_2 △=0x1?=x2?重根
△ < 0 △<0\quad △<0两个负根 ?例如： i 2 = ? 1 ? 9 = ± 3 i i^2=-1\quad \sqrt{-9}=±3i i2=?1?9 ?=±3i
根与系数关系： x 1 + x 2 = ? b a ， x 1 × x 2 = c a x_1+x_2=-\frac{b}{a}，x_1×x_2=\frac{c}{a} x1?+x2?=?ab?，x1?×x2?=ac?

例： 求解 4 y ′ ′ + 4 y ′ + 5 y = 0 4y''+4y'+5y=0 4y′′+4y′+5y=0
解：
4 λ 2 + 4 λ + 5 = 0 4λ^2+4λ+5=0 4λ2+4λ+5=0
△ = b 2 ? 4 a c = 16 ? 4 × 5 = 16 ? 80 < 0 △=b^2-4ac=16-4×5=16-80<0 △=b2?4ac=16?4×5=16?80<0
λ 1 , 2 = ? 4 ± ? 64 2 × 4 = ? 4 ± i 8 8 = ? 1 2 ± i = α ± β i λ_{1,2}=\frac{-4±\sqrt{-64}}{2×4}=\frac{-4±i8}{8}=-\frac{1}{2}±i=α±βi λ1,2?=2×4?4±?64 ??=8?4±i8?=?21?±i=α±βi
即 α = ? 1 2 ， β = 1 α=-\frac{1}{2}，β=1 α=?21?，β=1
综上，通解为 y = e α x ( C 1 c o s β x + C 2 s i n β x ) y=e^{αx}(C_1cosβx+C_2sinβx) y=eαx(C1?cosβx+C2?sinβx)
??????? = e ? 1 2 x ( C 1 c o s x + C 2 s i n x ) =e^{-\frac{1}{2}x}(C_1cosx+C_2sinx) =e?21?x(C1?cosx+C2?sinx)

3 反三角函数

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4 幂函数

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5 指数函数

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6 对数函数

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7 乘法与因式分解

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8 数列求和

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9 解析几何

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10 初等几何

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11 不等式

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文章来源:https://bigxie.blog.csdn.net/article/details/106582906
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